z = a + bi
复数可视化工具站
乘法是旋转，
乘法是旋转，
幂是螺旋。
复数不该只是 a + bi 这行符号。它有长度、有方向、 能转动。把它画在平面上，很多公式会自己解释清楚。
eiπ + 1 = 0
欧拉恒等式：半径 1 的圆上走半个圈，正好到 −1。
看它转起来 →
依赖
零 CDN · 零框架 · 零构建
离线
PWA 全量缓存，断网可用
计算
纯 IEEE 754 双精度，本地执行
拖拽圆点 · 滚轮缩放 · 拖空白平移
0 + 0i
z
1 + i
z²
2i
|z| 模
1.414
arg z 辐角
π/4
z 每转 θ，z² 就转 2θ —— 这就是辐角相加
二十二个工具
从算术到分形
全部在浏览器本地计算，不发任何请求。每个工具都可以单独打开、单独用。
复数计算器
输入 z、w 与任意表达式，输出代数式、极坐标式、模、辐角，并画在平面上。
相量图
叠加多个旋转相量，看合成波怎么长出来。交流电路、波的干涉、傅里叶合成的第一直觉。
单位根
n 次单位根把圆等分成正多边形。它们是 FFT 的全部秘密，也是多项式因式分解的钥匙。
Möbius 变换
(az+b)/(cz+d) 把整个平面揉一遍：直线还是直线，圆还是圆，直角仍然是直角。
围道积分
∮f dz = 2πi·ΣRes：拖着围道穿过极点，积分值一步跳变 2πi·Res。留数定理的可交互动画。
函数绘图
输入 f(z)，把单位圆、线段或网格“揉”进复平面，看原像与像的对照。
共形映射
正交网格经 f(z) 弯折而直角保持；探针实时给出 |f′| 放大率与旋转角。
域着色
色相 = 辐角，明度 = 模的对数：整个复平面变成一张彩色地图，零点黑、极点白。
Riemann zeta
临界带域着色 + 临界线 Hardy Z(t) 曲线：从 Σ1/n²=π²/6 到黎曼猜想的零点。
FFT 与单位根
手画波形 → radix-2 FFT 频谱 → 旋轮（epicycle）动画还原：看 DFT 如何把信号拆成旋转的复数。
Poincaré 圆盘
双曲几何住进单位圆：{p,q} 镶嵌随 Blaschke 变换实时流变，测地线是与边界正交的圆弧——Escher《圆极限》原景。
Riemann 球
给复平面加一个点 ∞ 它就成球：拖 z 看球面投影联动，1/z 是球体翻转，乘 i 是转 90°。
Newton 分形
Newton 法求根的吸引域：颜色=落向哪个根，亮度=收敛快慢。边界即分形。
根游乐场
拖根改系数，系数连续则根连续。Vieta 双向 + 代数基本定理可感。
级数
部分和逐 N 逼近，收敛半径 = 到最近奇点的距离。
复数谜题
限步操作闯关：×i、共轭、倒数、平方 —— 最短解已验证。
复数对令
同一套操作白名单，你和对手轮流拨动同一个 z —— 先命中目标点者得分，三胜制。
台球与反射
反射定律写成一个复数乘法 v′ = e2iφ·conj(v)；Schwarz 展开把折线拉直。
高斯迷宫
高斯整数格上的迷宫，|z³−1| < t 挖出空洞 —— 生成树保证必有解，最短步数经 BFS 验证。
课件课堂
把推导拆成可步进的课件：一句讲解配一张图，←/→ 翻页。
Mandelbrot 集
只是不断算 z ↦ z² + c，却长出无限细节。滚轮往里钻，边界永远不会变简单。
欧拉公式
eiθ = cos θ + i sin θ。让 θ 慢慢转，看它在圆上跑，看正弦波被"卷"出来。
预设库
点一下，直接落到工具里
每个工具挑两个最好讲的示例。链接里冻结了完整状态 —— 分享出去，别人打开就是同一幅画面。
为什么是平面
一个数，两个含义
实数排在一条直线上，复数铺满整个平面。 a + bi 里的 a 是横坐标， b 是纵坐标 —— 就这么简单。
但一旦放到平面上，代数运算立刻有了几何含义：
- 加法是平移 —— 两个向量首尾相接。
- 乘法是旋转加缩放 —— 模相乘，辐角相加。
- 取共轭是沿实轴翻折。
- 乘 i 是逆时针转 90°，乘两次就回到 −1。
最后一条正是 i² = −1 的真正含义： 它不是"负数开平方"这种魔法，而是转两次直角等于掉头。
z · w = r₁r₂ · ei(θ₁ + θ₂)
模相乘 · 辐角相加
两种写法，同一个数
代数式
z = a + bi
极坐标
z = r·eiθ = r(cos θ + i sin θ)
模
r = |z| = √(a² + b²)
辐角
θ = arg z = atan2(b, a)
做加减用代数式，做乘除和幂用极坐标式 —— 后者把乘方变成指数相加， 这也是为什么 zn 会让角度翻 n 倍。
| 运算 | 代数 | 几何 |
|---|---|---|
| 加法 | (a+c) + (b+d)i | 向量平移 |
| 乘法 | (ac−bd) + (ad+bc)i | 旋转 + 缩放 |
| 除法 | z·w̄ / |w|² | 反向旋转 + 缩比 |
| 共轭 | a − bi | 沿实轴镜像 |
| 平方 | z·z | 角度翻倍、模平方 |
四百年
从"不可能的数"到工程日常
复数花了三百年才被人接受，又花了一百年才变成必需品。
- 1545 卡尔达诺在《大术》中被迫写下负数的平方根。他称之为"既精致又无用"，算完就扔掉。
- 1572 邦贝利给出运算规则，证明这些"荒谬的数"能算出正确的实数解。规则有了，含义还没有。
- 1614 纳皮尔发表对数。后来人们发现，对数在负数上必然要多值 —— 复数的影子第一次出现在分析里。
- 1748 欧拉写出 eiθ = cos θ + i sin θ，把指数、三角和复数焊在一起。
- 1799 韦塞尔发表论文，把复数解释为平面上的有向线段。几何含义出现了 —— 论文当时几乎无人读到。
- 1831 高斯系统阐述复平面并证明代数基本定理，"复平面"这个名字就此定下来。
- 1843 哈密顿为了三维旋转牺牲交换律，造出四元数。复数是它的子集。
- 1893 斯坦梅茨用复数改写交流电路分析，把工程师从微分方程里捞出来。复数从此进入工业。
- 1926 薛定谔方程里那个 i 是必需的，不是记号便利。量子力学的状态本身就是复向量。
- 1965 Cooley–Tukey 快速傅里叶变换。单位根的对称性把 O(n²) 压到 O(n log n)，数字信号处理起飞。
- 1980 曼德博用计算机画出 z ↦ z² + c 的逃逸边界。三行迭代生出了无限复杂的图形。
为什么工程师离不开它
正弦波叠加本质是旋转矢量的合成。用实数写要同时维护幅度和相位两套方程； 用复数写就是一个数。交流电路里的阻抗、信号处理里的频谱、 控制理论里的极点 —— 都是同一件事。
三个绕不开的事实
- 代数封闭。任何 n 次多项式在复数域恰好有 n 个根（重根计数）。实数域做不到 —— x²+1 在实数上无解。
- 旋转的自然语言。二维旋转矩阵有四个数、六个约束；一个复数就够了，且乘法自动复合。
- 多值性是本质。log 和分数次幂天生多值，因为转一整圈回到原点。主枝是人为切一刀的结果，不是唯一真理。
它在哪儿
不是数学玩具
下面每一个场景里，复数都不是可选的表示法，而是最省事的那一个。
交流电路
阻抗 Z = R + jX，把微分方程变成代数除法。相量图直接看出电压电流谁超前。
信号处理
FFT 的输入输出都是复数。幅度谱是模，相位谱是辐角 —— 缺一个就还原不出原信号。
量子力学
波函数是复值的，概率幅要相加后再取模平方。干涉项来自辐角差，实数无法表达。
控制系统
极点在复平面上的位置直接决定稳定性：左半平面衰减，右半平面发散，虚轴等幅振荡。
计算机图形
二维旋转与缩放用复数一次乘法搞定。分形、 conformal 映射、纹理变形都靠它。
流体与电磁
共形映射把绕机翼的流动变成绕圆柱的流动。解析函数的保角性是物理上的真事。
数论
高斯整数 a + bi 有唯一分解。费马二平方和定理靠它一句话讲完。
音频合成
加法合成就是相量叠加。本站的相量图工具用的正是这个模型。
装到桌面，断网也能算
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