四十九个工具
从算术到分形
全部在浏览器本地计算，不发任何请求。每个工具都可以单独打开、单独用。
复变之旅
11 站主线把全站工具与课件串成一条路：每站一句叙事 + 预置好状态的直达链接，看完打卡。
复数计算器
输入 z、w 与任意表达式，输出代数式、极坐标式、模、辐角，并画在平面上。
相量图
叠加多个旋转相量，看合成波怎么长出来。交流电路、波的干涉、傅里叶合成的第一直觉。
单位根
n 次单位根把圆等分成正多边形。它们是 FFT 的全部秘密，也是多项式因式分解的钥匙。
Möbius 变换
(az+b)/(cz+d) 把整个平面揉一遍：直线还是直线，圆还是圆，直角仍然是直角。
围道积分
∮f dz = 2πi·ΣRes：拖着围道穿过极点，积分值一步跳变 2πi·Res。留数定理的可交互动画。
卷绕数
围道套住 f(z)，像曲线绕原点几圈？辐角逐帧累加，走完一圈"啪"地吸附成整数 = 零点 − 极点。
分支行走
牵着 √z 绕支点走一圈，回家时它变成了 −√z —— 站上黎曼面的下一层。
留数定理
每个极点的 2πi·n·Res 是一条向量，首尾相加；积分轨迹走完一圈，终点恰好落在向量链末端。
解析延拓
把 √z 的值沿你自己画的围道一步步搬运：绕支点一圈它反号，绕两圈才回家 —— 单值性比是叶子的指纹。
Rouché 定理
给像曲线 f(Γ) 套上长度 |g| 的毛刺管：管不住原点，f 与 f+g 的零点就一样多。
函数绘图
输入 f(z)，把单位圆、线段或网格“揉”进复平面，看原像与像的对照。
共形映射
正交网格经 f(z) 弯折而直角保持；探针实时给出 |f′| 放大率与旋转角。
域着色
色相 = 辐角，明度 = 模的对数：整个复平面变成一张彩色地图，零点黑、极点白。
Riemann zeta
临界带域着色 + 临界线 Hardy Z(t) 曲线：从 Σ1/n²=π²/6 到黎曼猜想的零点。
FFT 与单位根
手画波形 → radix-2 FFT 频谱 → 旋轮（epicycle）动画还原：看 DFT 如何把信号拆成旋转的复数。
傅里叶轮盘画
手绘闭合曲线，拆成一串旋转小圆：按能量取前 M 个圆，笔尖就描出原图。心形线 3 圆成形，五角星磨不平。
Poincaré 圆盘
双曲几何住进单位圆：{p,q} 镶嵌随 Blaschke 变换实时流变，测地线是与边界正交的圆弧——Escher《圆极限》原景。
Riemann 球
给复平面加一个点 ∞ 它就成球：拖 z 看球面投影联动，1/z 是球体翻转，乘 i 是转 90°。
Newton 分形
Newton 法求根的吸引域：颜色=落向哪个根，亮度=收敛快慢。边界即分形。
根游乐场
拖根改系数，系数连续则根连续。Vieta 双向 + 代数基本定理可感。
级数
部分和逐 N 逼近，收敛半径 = 到最近奇点的距离。
复数谜题
限步操作闯关：×i、共轭、倒数、平方 —— 最短解已验证。
复数对令
同一套操作白名单，你和对手轮流拨动同一个 z —— 先命中目标点者得分，三胜制。
台球与反射
反射定律写成一个复数乘法 v′ = e2iφ·conj(v)；Schwarz 展开把折线拉直。
高斯迷宫
高斯整数格上的迷宫，|z³−1| < t 挖出空洞 —— 生成树保证必有解，最短步数经 BFS 验证。
课件课堂
把推导拆成可步进的课件：一句讲解配一张图，←/→ 翻页。
Mandelbrot 集
只是不断算 z ↦ z² + c，却长出无限细节。滚轮往里钻，边界永远不会变简单。
Julia 集
固定 c、让起点跑遍平面。拖右下 Mandelbrot 导航器换 c，看连通整片如何碎成康托尘。
欧拉公式
eiθ = cos θ + i sin θ。让 θ 慢慢转，看它在圆上跑，看正弦波被"卷"出来。
识色辨函
看一张域着色图，从四个表达式里猜出它是谁。每日五题全服务器同卷，链接甩给朋友比手感。
围道猎手
给你 f(z) 和猎物数，画一条围道恰好圈住指定数量的零点与极点。每日六关全服同题，卷绕数当场验收。
茹科夫斯基翼型
一行复变换 ζ = z + b²/z 把圆变成机翼。拖圆心改厚度，解锁 Kutta 条件看后缘速度当场爆炸。
调和场 · 泊松实验室
拖圆周上的 16 个电极给圆盘"涂温度"，盘内解由泊松积分实时算出；旁边差分松弛独立复算——两套数学一个物理。
黎曼曲面
√z 绕一圈翻号？那就把分支铺成多层曲面。3D 拖转叶片，θ 滑块带你逐叶巡行，值平面同步画出连续延拓。
复势流场实验室
理想流体藏在解析函数里：拖源、涡、偶极搭积木，流线等势正成交网；绕圈积分 ∮V·dz 与元素账本当面互证。
随机整函数
掷一颗种子骰子，让 Weierstrass 乘积或随机泰勒级数长出一个只属于你的整函数 —— 零点在域着色里排队显形。
℘ 观象台
拖 τ 换格：℘ 的域着色壁纸沿周期性无缝铺贴，j(τ) 模地板一图定位你的格。
Arnold 猫
环面上的保面积剪切：猫脸被搅成噪声，又在精确步数（矩阵的阶）整幅复位——混得越匀，回归越准时。
Blaschke 万花筒
拖零点半钉出盘自映射：边界钉在边界上，预像金环自相似重组——n 枚钉就是 n 页覆叠。
CR 侦探
残差热图 + 八向方向导数罗盘 + Beltrami 系数：逐点勘查 f 到底在哪解析。
复连分数
1/(b+1/(b+…)) 的收敛盆地测绘：Wall 抛物线是门票，实测盆比它大；b=1 即黄金比。
Padé 逼近
把泰勒系数装裱成商 P/Q，有理式自己长出极点 —— 穿过收敛墙继续逼近。
SC 成型
Schwarz–Christoffel：圆盘的共形"捏合"成型出任意多边形，Beta 闭式对账边长。
极限集
Schottky 群随机迭代：拨间隙 L 看边界点集从糊满圆周瘦成 Cantor 尘。
布朗测
调和中测 = 布朗出口分布：拖动探针，蒙特卡洛与泊松积分当场对账，误差 ~1/√N。
Γ 工坊
伽马函数实验室：拖动探针，反射/倍元/虚轴闭式当场对账，Stirling 截断误差画成 U 形。
显式公式
黎曼显式公式：素数计数阶梯 ψ₀(x) = x − Σx^ρ/ρ，非平凡零点逐颗叠加，K 越多越贴。
极点工坊
辐角原理进阶：拖围道数零点极点，卷绕圈数与解析计数实时对账；可去奇点陷阱等你跳。
预设库
点一下，直接落到工具里
每个工具挑两个最好讲的示例。链接里冻结了完整状态 —— 分享出去，别人打开就是同一幅画面。
为什么是平面
一个数，两个含义
实数排在一条直线上，复数铺满整个平面。 a + bi 里的 a 是横坐标， b 是纵坐标 —— 就这么简单。
但一旦放到平面上，代数运算立刻有了几何含义：
- 加法是平移 —— 两个向量首尾相接。
- 乘法是旋转加缩放 —— 模相乘，辐角相加。
- 取共轭是沿实轴翻折。
- 乘 i 是逆时针转 90°，乘两次就回到 −1。
最后一条正是 i² = −1 的真正含义： 它不是"负数开平方"这种魔法，而是转两次直角等于掉头。
z · w = r₁r₂ · ei(θ₁ + θ₂)
模相乘 · 辐角相加
两种写法，同一个数
代数式
z = a + bi
极坐标
z = r·eiθ = r(cos θ + i sin θ)
模
r = |z| = √(a² + b²)
辐角
θ = arg z = atan2(b, a)
做加减用代数式，做乘除和幂用极坐标式 —— 后者把乘方变成指数相加， 这也是为什么 zn 会让角度翻 n 倍。
| 运算 | 代数 | 几何 |
|---|---|---|
| 加法 | (a+c) + (b+d)i | 向量平移 |
| 乘法 | (ac−bd) + (ad+bc)i | 旋转 + 缩放 |
| 除法 | z·w̄ / |w|² | 反向旋转 + 缩比 |
| 共轭 | a − bi | 沿实轴镜像 |
| 平方 | z·z | 角度翻倍、模平方 |
四百年
从"不可能的数"到工程日常
复数花了三百年才被人接受，又花了一百年才变成必需品。
- 1545 卡尔达诺在《大术》中被迫写下负数的平方根。他称之为"既精致又无用"，算完就扔掉。
- 1572 邦贝利给出运算规则，证明这些"荒谬的数"能算出正确的实数解。规则有了，含义还没有。
- 1614 纳皮尔发表对数。后来人们发现，对数在负数上必然要多值 —— 复数的影子第一次出现在分析里。
- 1748 欧拉写出 eiθ = cos θ + i sin θ，把指数、三角和复数焊在一起。
- 1799 韦塞尔发表论文，把复数解释为平面上的有向线段。几何含义出现了 —— 论文当时几乎无人读到。
- 1831 高斯系统阐述复平面并证明代数基本定理，"复平面"这个名字就此定下来。
- 1843 哈密顿为了三维旋转牺牲交换律，造出四元数。复数是它的子集。
- 1893 斯坦梅茨用复数改写交流电路分析，把工程师从微分方程里捞出来。复数从此进入工业。
- 1926 薛定谔方程里那个 i 是必需的，不是记号便利。量子力学的状态本身就是复向量。
- 1965 Cooley–Tukey 快速傅里叶变换。单位根的对称性把 O(n²) 压到 O(n log n)，数字信号处理起飞。
- 1980 曼德博用计算机画出 z ↦ z² + c 的逃逸边界。三行迭代生出了无限复杂的图形。
为什么工程师离不开它
正弦波叠加本质是旋转矢量的合成。用实数写要同时维护幅度和相位两套方程； 用复数写就是一个数。交流电路里的阻抗、信号处理里的频谱、 控制理论里的极点 —— 都是同一件事。
三个绕不开的事实
- 代数封闭。任何 n 次多项式在复数域恰好有 n 个根（重根计数）。实数域做不到 —— x²+1 在实数上无解。
- 旋转的自然语言。二维旋转矩阵有四个数、六个约束；一个复数就够了，且乘法自动复合。
- 多值性是本质。log 和分数次幂天生多值，因为转一整圈回到原点。主枝是人为切一刀的结果，不是唯一真理。
它在哪儿
不是数学玩具
下面每一个场景里，复数都不是可选的表示法，而是最省事的那一个。
交流电路
阻抗 Z = R + jX，把微分方程变成代数除法。相量图直接看出电压电流谁超前。
信号处理
FFT 的输入输出都是复数。幅度谱是模，相位谱是辐角 —— 缺一个就还原不出原信号。
量子力学
波函数是复值的，概率幅要相加后再取模平方。干涉项来自辐角差，实数无法表达。
控制系统
极点在复平面上的位置直接决定稳定性：左半平面衰减，右半平面发散，虚轴等幅振荡。
计算机图形
二维旋转与缩放用复数一次乘法搞定。分形、 conformal 映射、纹理变形都靠它。
流体与电磁
共形映射把绕机翼的流动变成绕圆柱的流动。解析函数的保角性是物理上的真事。
数论
高斯整数 a + bi 有唯一分解。费马二平方和定理靠它一句话讲完。
音频合成
加法合成就是相量叠加。本站的相量图工具用的正是这个模型。
装到桌面，断网也能算
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