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共形映射
解析函数把正交网格弯成曲线网，但每个交点处的直角原封不动。 拖动探针 z₀，看局部放大率 |f′(z₀)| 与旋转角 arg f′(z₀) 如何决定网格在那一点的形变。
f(z)
保角变换
1.00
表达式里的 t（线性 0→1）、u（单位圆）、s（±1 正弦）、r（0→1→0 三角波）、n（1→60 计数）会随动画循环。
源平面 z
—
- 正交网格（源）
- 探针 z₀
像平面 f(z)
—
- 网格的像 f(网格)
探针 z₀
解析z₀—
f(z₀)—
f′(z₀)—
放大率 |f′|—
旋转角 arg f′—
正交方向像的夹角—
夹角 ≈ 90° 即保角（共形）；若为 −90° 则是反共形（如 conj(z)，镜像翻向）； 其它值说明 f 在该点不解析。f′(z₀)=0 处放大率为零，共形性退化（临界点）。
网格统计
像折线笔数—
断线处（极点/无穷）—
|f′| 范围（视口内）—
热力着色按 log|f′| 铺在网格像上：亮处网格被拉伸，暗处被压缩。 1/z 在原点附近 |f′|→∞，e^z 沿实轴方向指数放大。
什么叫共形
若 f 在 z₀ 解析且 f′(z₀) ≠ 0， 则在 z₀ 附近 f 近似为「旋转 arg f′ + 缩放 |f′|」—— 所有过 z₀ 的曲线都被同一个角旋转、同一个比例缩放。 于是任意两条曲线的交角保持不变，直角网格的像仍是直角网格（只是弯了）。
- 放大率。|f′(z₀)| 是局部伸缩比：>1 拉伸，<1 压缩，=0 临界点。
- 旋转角。arg f′(z₀) 是局部转角，与方向无关——这正是「保角」的含义。
- 失效处。f′=0（如 z² 在原点）或 f 不解析（如 conj z）时直角不再保持。
预设里的名场面
- z²：网格变成抛物线族；原点处 f′=0，直角被翻倍成 180°。
- e^z：竖线 → 射线，横线 → 圆弧；沿实轴放大率 e^x 指数增长。
- log z：e^z 的逆，把去掉原点的平面卷成无穷长条带。
- 1/z：反演，直线 ↔ 圆互换，|f′|=1/|z|² 在原点旁爆炸。
- sin z：椭圆坐标网——竖线映成双曲线，横线映成椭圆。
- z+1/z：Joukowski 变换，圆网被捏成机翼形流线网。
- conj(z)：反例。网格形状对，但每个直角都翻了向（−90°），非共形。
为什么热力图在极点附近断开
|f| 或 |f′| 超过阈值时程序断线，避免连线飞向无穷远。断点数在右侧「网格统计」里实时给出。