多项式根游乐场
拖动平面上的根，右边系数立刻跟着变 —— 这是 Vieta 定理的双向版本： p(z) = aₙ·Π(z − rₖ)。系数连续变，根也连续变； 而 n 次多项式永远恰有 n 个根（重根计数），这件事可以直接拖出来看。
次数与预设
n = 3拖根改系数 · 双击根删除 · 单击空白加根 · 拖空白平移 · 滚轮缩放
- 根（可拖）
- 单位圆
系数（由根展开）
Vieta：Σrₖ = −aₙ₋₁/aₙ， Πrₖ = (−1)ⁿ·a₀/aₙ。 系数全为实数 ⟺ 非实根成共轭对出现。
反解校验
| 根 | 反解值 | 误差 |
|---|
代数基本定理，可以拖
n 次多项式在复数域里恰好有 n 个根（重根按重数计）。 实数域做不到 —— z²+1 在实数上无解，但在复平面上就是 ±i 两个点。 把次数拉到 5、6，根照样一个不少。
更妙的是连续性：慢慢拖一个根，系数连续变化， 其余根也连续移动 —— 它们不会突然消失或跳到别处。 根作为系数的函数，除了在重根处，是连续的。
共轭对从哪来
把所有根摆成关于实轴对称（比如 1+i 与 1−i 成对）， 展开后的系数会全部变成实数。反之， 若系数全实而某个根是 a+bi，则 a−bi 必然也是根 —— 因为共轭运算与实系数多项式可交换。
试试这个
选「z⁶−1」预设：6 个根均匀分布在单位圆上，系数会是漂亮的 1,0,0,0,0,0,−1。 随手拖乱一个，其余系数立刻变得"难看" —— 对称性一破，系数就丑了。
预设里藏着什么
- zⁿ−1：单位根，正多边形。
- Chebyshev：根全在实轴 [−1,1] 上，且按 cos 分布（非均匀）。
- (z²+1)(z−2)：一对共轭根 + 一个实根，系数全实。