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Riemann zeta 函数
ζ(s) 从 Σ 1/n² = π²/6 出发，经解析延拓走向整个复平面。 两张面孔：临界带的域着色图，与临界线上的 Hardy Z(t) 曲线—— 它穿过原点的地方，就是黎曼猜想讨论的零点。
f(s)
解析延拓
60
临界带 ζ(s)
—
探针
s（悬停）—
f(s)—
|f(s)|—
arg f(s)—
色相绕一整圈 = 辐角走过 2π；亮暗环每出现一次，|f| 跨过一个 e 的整数次幂。 黑点 = 零点，白点 = 极点。
账本
—视口内零点—
视口内极点—
渲染耗时—
区间内非平凡零点—
计算耗时—
| # | t（ζ(1/2+it)=0） |
|---|
负偶数是「平凡零点」
ζ(−2)=ζ(−4)=ζ(−6)=⋯=0，来自反射公式里 sin(πs/2) 的零点——它们排列在负实轴上，性质完全清楚。神秘的是非平凡零点：全部藏在临界带 0<Re s<1 里。
黎曼猜想（1859，至今未证）
所有非平凡零点的实部都恰是 1/2。本页曲线在 Re=1/2 上穿过原点的每个 t 都通过了验证——已算到 1013 量级无一例外，但没人能证明全部如此。
ζ 是怎么算出来的
ζ(s) = Σ 1/nˢ 这个级数只在 Re s > 1 收敛。 要画出整张平面，需要三段接力：
- Re s > 0（s≠1）。用 Dirichlet η 级数 ζ = η/(1−21−s)，配 Borwein 加速——48 项就到 1e-12 精度。
- Re s ≤ 0。反射公式 ζ(s) = 2ˢπs−1sin(πs/2)Γ(1−s)ζ(1−s)，把问题弹回右半平面。
- s = 1。唯一的极点，ζ → ∞，图上是一个白点。
ζ(−1) = −1/12 是真的吗
- 级数 1+2+3+⋯ 发散，在任何通常意义下都不等于 −1/12。
- −1/12 是 ζ(s) 解析延拓后在 s=−1 的函数值——把「Σn」的记号滥用一步，才得到这个网红等式。
- 它在物理学里有真用处：Casimir 效应、玻色弦理论的临界维度 26 都从这里来。
- 本页探针悬停 s=−1 可以亲手验证：ζ(−1) = −0.0833… = −1/12。
为什么临界线要换用 Z(t)
ζ(1/2+it) 本身是复值曲线，「穿过原点」不易看清。乘上相位因子 eiθ(t)（θ 来自 Γ 函数）后得到的 Hardy Z(t) 是实函数，且 |Z|=|ζ|——零点变成干脆的变号，二分法即可精修。