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Möbius 变换
f(z) = (az + b) / (cz + d)，其中 ad − bc ≠ 0。 它是平移、旋转、缩放、反演四种操作的复合，也是复平面上最"温柔"的变换： 角度不变，圆和直线互映。左图是原网格，右图是它被揉过之后的样子。
系数矩阵
ad − bc = 1
(
)
f(z)
(z + i) / (z)
ad − bc = 0：矩阵退化，变换塌缩成常数，已停止绘制。
原平面 z
—
- 等距网格
- 极点 −d/c
像平面 f(z)
—
- 网格的像
- f(∞) = a/c
12 线
200 点/线
四种基本动作
任何 Möbius 变换都能拆成这四步的复合，顺序不同结果不同：
- 平移 z ↦ z + b/d —— 整体挪动。
- 旋转 + 缩放 z ↦ (a/d)·z —— 乘一个复数，正是首页画的那件事。
- 反演 z ↦ 1/z —— 圆内圆外互换，原点与无穷远互换。这是唯一"非线性"的一步。
- 再平移 收尾。
反演是理解一切的关键：它把过原点的直线变成直线，把不过原点的直线变成过原点的圆， 把圆变成圆或直线。"圆"在复分析里默认包含直线 —— 直线就是过无穷远点的圆。
两个特殊点
- 极点 z = −d/c。分母为零处，f 趋于无穷。左图的红点。它附近的一小圈会被拉到像平面的极远处。
- f(∞) = a/c。无穷远点被映到这个有限位置。右图的橙点。若 c = 0，则 f(∞) = ，变换退化为仿射（平移+旋转+缩放）。
保角性怎么验证
看右图网格的交点：无论网格被弯成什么样，横竖两族曲线在每个交点处仍然近似垂直。 这就是保角（conformal）—— 除极点外处处成立。
预设里藏着什么
- 1/z：纯反演，最经典的圆↔直线互换。
- (z−1)/(z+1)：把右半平面映到单位圆内 —— 控制理论里的双线性变换。
- (z+i)/(z−i)：把上半平面映到单位圆内 —— 共形映射的标准例题。