台球与反射

反弹为什么是 e^{2iφ}·conj(v)

1. 先把坐标系摆正：乘 e^−iφ 让边落在实轴上。
2. 对实轴镜像 = 共轭：conj。入射角与出射角就此对称。
3. 再乘 e^iφ 摆回来。合成 e^2iφ·conj(v) —— 反全纯，恰是"镜像"该有的代数。

展开视图里发生了什么

不折球路，折桌子：每次撞边后把整张桌关于命中边镜像，球沿直线穿进副本。 这条直线就是「施瓦茨展开」——世界里的每次反弹，对应展开世界里跨过一条桌边。 展开位移是一个复数：位移 = 2 × (各边向量按反射链旋转后的和的一半)，正方形的水平往返就是纯平移。

正方形的有理斜率（如 1/2）闭轨、正三角形的 Fagnano 三重点轨道 —— 都是这条直线的周期性在说话。 角全是有理倍 π 的多边形，轨道必周期；直角等腰三角形是展开铺满平面的典型。

凹桌：展开法失灵，光线投射依然正确

换成 L 形或箭头形 的凹桌，展开视图就不好使了：镜像副本会与原桌重叠——直线穿过"副本" 时，分不清它对应的是桌子的哪个部分，拉直的等价性被破坏。但反弹的物理规律一条没变： 每次碰撞仍是 e^2iφ·conj(v)。本引擎取"最近边界交点"作命中边， 这对任意简单多边形（凹或凸）都成立——球永远先撞上离它最近的那面墙，所以凹桌轨迹与凸桌同一套代码算出。

凹桌带来两个凸桌没有的怪脾气：① 锐角死角——凹进去的尖角是个陷阱，球一旦进入夹角 < π/n 的窄角区， 每次反弹都把它更紧地弹向角尖，轨迹无限收窄、渐近地困在顶点附近（数值模拟里表现为在角内反复折返）。 这也是拖顶点时引擎拒绝自交、要求"简单多边形"的原因： 蝴蝶结状自交桌连"哪面墙最近"都没有确定答案。② 阴影区——L 形的两臂互为视线盲区， 一条边能不能被"直接看见"要逐边判定；周期轨判定倒是不变：看的是（命中点+出射方向）这个状态是否重现， 与桌子凹凸无关。