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Riemann 球
给复平面加一个点 ∞，它就成了球：赤道上走的是普通复数， 北极是无穷远。左图拖 z，右图球点跟着动；反过来拖球点，z 也跟着变。 1/z 恰好是把球翻个面，乘 i 恰好是转 90°。
复平面 z
—
- z 点（可拖）
- 单位圆 = 赤道
立体投影
拖球点改 z · 拖空白转视角
- 球面点 P（可拖）
- 投影线 N→z 过 P
- 北极 = ∞
−28°
18°
探针
z—
球面点 (X, Y, Z)—
|z| ↔ 半球—
χ(z, ∞) 弦距—
弦距 χ(z,∞) = 1/√(1+|z|²)：|z|→∞ 时它趋于 0——在球面上， "跑得越来越远"就是"越来越靠近北极"。∞ 是一个点，不是一趟旅程。
操作账本
—最近操作—
球面距离 d(z, z′)—
每帧渲染—
为什么 1/z 是刚体翻转
z=x+iy 映到 (X,Y,Z)=(2x, 2y, |z|²−1)/( |z|²+1)。把 1/z 代入，得 (X, −Y, −Z)——绕 X 轴 180°。复平面里最"扭曲"的反演，在球面上竟是旋转；这也解释了为什么 Möbius 变换把圆映成圆：球面的圆，转完还是圆。
立体投影公式从哪来
北极 N=(0,0,1) 与平面点 (x, y, 0) 连线，与单位球面的交点即 z 的像。 参数化直线 N + t·((x,y,0)−N)，解 |·|=2 得唯一 t<1 交点：
- 去程 z=x+iy ↦ (X,Y,Z) = (2x, 2y, |z|²−1)/(|z|²+1)。
- 回程 球面点 ↦ z = (X + iY)/(1 − Z)。
- 核对锚点 0→南极、单位圆→赤道、|z|<1→南半球、∞→北极。
投影保角（球面角 = 平面角），所以它是复分析里"看 ∞ 附近"的标准镜头。
∞ 成为普通点之后
- 极限统一：z→∞ 不再分方向，任何趋于无穷的路径都是"趋于北极"。
- 极点 = 零点：f 在 z₀ 有极点 ⟺ 1/f 在该处为零点；f(∞) 看北极落地。
- Möbius = 球的旋转群 × 伸缩：上一页的圆盘等距、这一页的球面旋转，是同一群在不同模型里的样子。
- 黎曼面：多值函数（√z、log z）的"展开成曲面"叙事，都以这条球面为第一块基石。
直线的像为什么过北极
平面直线 = 过 N 的平面与赤道面的交线，那个平面切球面得一个大圆——它必过 N。所以球面上"直线"就是过北极的圆，∞ 被"补"进了几何里。