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Taylor / Laurent 级数
把 f(z) 在 z₀ 展开成幂级数，取前 N 项看它能逼近多远。 答案由一条简单的几何规律决定：收敛半径 = 到最近奇点的距离。 左图拖 z₀ 看它怎么变，右图看部分和曲线随 N 一步贴上真值。
f(z) 与展开点
N = 8
8
0.60·R
收敛圆 · 奇点
—
- 展开点 z₀（可拖）
- 最近奇点
- 收敛圆 |z−z₀|=R
部分和 vs 真值（沿 ρ 圆，取实部）
max|S_N − f| = —- 真值 Re f
- 部分和 Re S_N
收敛半径：两条独立路径
DFT 比值—
奇点距离—
判定—
比值判别 1/limsup|aₙ₊₁/aₙ| 与"到最近奇点的距离"是同一个 R — 几何与代数在这里相遇。e^z 这类整函数无奇点，R = ∞。
为什么收敛半径只由奇点决定
解析函数在其解析域内可以做 Taylor 展开，这个展开在"碰到第一个奇点"之前必然收敛。 换句话说，幂级数不是"不知道能展多远"，而是它知道： 半径恰为 |z₀ − 最近奇点|。1/(1−z) 的奇点在 z=1，所以它在 z₀=0 处只能在 |z|<1 内收敛。
- 圈内安全。ρ < R 时部分和随 N 指数级逼近。
- 圈外发散。ρ > R 时高阶项只会把曲线吹飞。
- 边界微妙。ρ = R 处可能收敛也可能发散，取决于奇点的类型。
预设里藏着什么
- 1/(1−z)：奇点在 1，R=1。最经典的撞墙案例。
- log(1+z)：奇点在 −1，R=1。对数在原点附近的展开恰好停在那里。
- 1/(z²+1)：奇点在 ±i，从 z₀=0 看 R=1 —— 实数上看不出来的障碍，在复平面一目了然。
- e^z：整函数，R=∞，部分和全平面逼近。
- 1/z 在 z₀=1：Laurent 视角，奇点在 0，R=1。
1/(z²+1) 的深意
它在实轴上光滑无比（处处可导），可 Taylor 展开在 |x|<1 外却失败。 原因藏在复平面：±i 处各有一个极点。实分析里"看不出的障碍"，复分析一眼看穿。