参数
n = 6
6
0°
顶点表
| k | 代数式 | 辐角 | cos | sin |
|---|
全部根之和 Σ
—
全部根之积 Π
—
相邻根夹角
—
边长（弦长）
—
6 次单位根
—
- 根 ωₖ
- 多边形边
- 共轭对连线
三个恒等式
- 和为 0（n ≥ 2）。正多边形的质心在原点。代数上这是等比级数：Σ ωk = (ωn−1)/(ω−1) = 0。
- 积为 (−1)n−1。由韦达定理，xn−1 的常数项是 −1，根之积等于 (−1)n·(−1) = (−1)n−1。
- 共轭成对。ωk 的共轭是 ωn−k。所以实系数多项式的复根永远成对出现 —— 本页的虚线连的就是这些对。
因式分解
zn − 1 = ∏k=0n−1 (z − ωk)
n 个一次因式，一个不多一个不少
把"1"换成任意复数 a，根就是 a 的 n 次方根：模开 n 次方，辐角除以 n 再加 2πk/n。
计算器里的 root(a, n) 取的是 k=0 的主根。
FFT 为什么快
离散傅里叶变换本质是求多项式在 n 个单位根处的取值。 直接算是 O(n²)。Cooley–Tukey 的洞察是： 偶数下标和奇数下标各自构成一个 n/2 点 DFT， 而 ωk+n/2 = −ωk，两半可以共用计算结果。
递归下去，n = 2m 时复杂度降到 O(n log n)。 每一次"共用"都对应图上的一对对称顶点 —— 蝶形图就是这张正多边形图的重新布线。
试试 n = 8
8 次单位根里，ω₁ = (√2/2)(1+i) 是少数能写成根式闭形式的点。 观察表格里 k=2 那一行：恰好是 i —— 因为 8/2 = 4，ω₂ 就是 4 次单位根。 子群结构在表格里直接可见。