欧拉公式
eiθ = cos θ + i sin θ。 左边是指数，右边是三角 —— 桥梁是复平面。 拖动 θ，看圆上的点怎么同时决定一条余弦和一条正弦； 再把它沿时间轴展开，螺旋就变成了波。
角度 θ
θ = π/4恒等式是怎么来的
五个最基本的常数 e、i、π、1、0 出现在同一个等式里，且每个只出现一次。 这不是巧合的堆砌：指数函数是"变化率正比于自身"的唯一解， 而 i 把"正比"变成了"垂直"，于是解只能绕圈。
cos nθ 的多项式外衣
n = 3de Moivre：(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ。左边按二项式展开、取实部， 就得到 cos nθ = Tₙ(cos θ) —— 一个只含 cos θ 的整系数多项式（切比雪夫多项式）。
递推 Tₙ₊₁ = 2c·Tₙ − Tₙ₋₁ 正是"旋转两次相加"：e^(i(n+1)θ) + e^(i(n−1)θ) = 2cos θ · e^(inθ)。 根游乐场（roots 页）里的 cos nθ 方程，本质是单位圆上的等分点。
- e^(iθ)
- cos θ 投影
- sin θ 投影
- 已扫过的弧
三种读法
- 代数读法。e^iθ 是一个模为 1 的复数，实部 cos θ，虚部 sin θ。适合计算。
- 几何读法。它是单位圆上辐角为 θ 的点。乘 e^iθ 就是旋转 θ。适合看图。
- 动态读法。把 θ 换成 ωt，e^iωt 是一个匀速旋转的矢量，它的影子（实部）就是简谐振动。适合物理。
第三种读法解释了为什么交流电、弹簧、单摆、声波全都长得像正弦： 它们都是同一个旋转运动在不同方向上的投影。
从圆到波的"展开"
想象单位圆沿时间轴向右滚动，圆上的点画出的轨迹是一条螺旋线（本页上方画了过渡线）。 从侧面看这条螺旋 —— 也就是忽略旋转、只看高度 —— 就是正弦曲线。
傅里叶分析的全部内容可以压缩成一句话： 任何信号都是若干条不同转速螺旋的叠加，分析就是把这些螺旋拆开。 相量图工具页做的正是叠加这一半。
一个可验证的预测
把 θ 拖到 π/2：cos = 0，sin = 1，点落在正虚轴上。 再拖到 π：点落在 −1，这正是 e^iπ + 1 = 0 的几何版本 —— 半圈，不多不少。