围道积分与留数定理
∮ f(z) dz = 2πi · Σ Res(f, zₖ) —— 沿闭合围道的积分，只取决于围道绕住了哪些极点、各绕了几圈，与围道形状无关。 拖动左图的顶点，让围道扫过一个极点：右侧读数会瞬间跳变 2πi·Res。
被积函数 f(z)
变量 z支持隐式乘法（1/z² 可写作 1/z^2）、 全部初等函数与 gamma/zeta。极点由数值扫描自动定位。
- 积分围道
- 极点（红，标阶数）
- 零点（蓝）
拖顶点改形状 · 单击空白处插入顶点 · 双击顶点删除 · 拖空白平移 · 滚轮缩放
三路读数
一致数值 ∮：Simpson 直接沿围道积分（不知道任何极点）。 留数侧：2πi·Σ n(zₖ)·Res —— n 是围道对每个极点的卷绕数。 两者独立计算，定理说它们恒等。
围道内的奇点账本
| 类型 | 位置 zₖ | 阶 | n(Γ) | Res | n·Res |
|---|
留数定理在说什么
解析函数沿闭合围道的积分本来应该是 0（柯西定理）。 但如果围道内部藏着极点，被积函数在那里爆炸，积分就不再是 0 —— 而它的值恰好等于每个极点的"留数"乘以 2πi，再按卷绕数加权求和：
三个立刻能验证的推论：
- 形状无关。把围道捏成任意形状，只要不扫过极点，∮ 纹丝不动 —— 拖动顶点试试。
- 跳变是量子化的。围道扫过一个极点的瞬间，∮ 恰好跳 2πi·Res，一步到位，没有中间值。
- 留数为 0 的极点等于不存在。选 f = 1/z²：原点是二阶极点，但 Res = 0，∮ 恒为 0 —— 围道怎么套住它都没用。
本页的"数值 ∮"完全不知道极点在哪 —— 它只是把围道切成小段做 Simpson 求和； "留数侧"则完全不做围道积分 —— 它只算每个极点附近的小圆。 两条独立的数值管线恒等，就是定理本身。
三路读数的分工
- 数值 ∮：Simpson 复合求积，沿围道逐段积分。极点贴近围道时被积函数近奇异，读数会失准 —— 页面会亮警示条。
- 留数侧：极点由网格卷绕数扫描 + Newton 精修定位；Res 取极点小圆上的 Laurent a₋₁ 系数；n(Γ) 是围道对该极点的卷绕数，对 8 字形这种自交围道也逐叶计数（一叶 +1、一叶 −1）。
- N − P（辐角原理）：(1/2πi)∮ f′/f dz = 围道内零点数减极点数（计重数）。它和"像绕数"（f(Γ) 这条闭曲线绕原点的圈数）是同一件事的两条独立数值路径，互为校验。
关于 e^(1/z) 的失配
本性奇点附近，Laurent 展开有无穷多项负幂，任何"截断 + 定位"的数值方法都会失灵： 页面会把扫描到的伪奇点如实列进账本，失配读数爆表，警示条亮起。 这不是 bug —— 是数值方法在数学上注定的边界。注意此时"数值 ∮"依然精确： Simpson 只沿围道采样，从不靠近奇点。
预设里藏着什么
- 1/z：教科书第一例。围道含原点 ⟺ ∮ = 2πi，二值开关。
- 1/z²：二阶极点但 Res = 0 —— 积分恒 0，"阶数高≠贡献大"。
- 1/(z²+1)：±i 两个一阶极点，Res = ∓i/2。都套住时互相抵消，∮ = 0；只套一个时 ∮ = ±π。
- tan z：无穷多极点 ±π/2, ±3π/2…，每个 Res = −1。围道每多吞一个，∮ 就少 2πi。
- z²：全域解析，∮ 恒 0 —— 柯西定理本身。
- e^(1/z)：本性奇点，∮ = 2πi（Res = 1），但账本会展示数值定位的溃败。