Poincaré 圆盘
把整个双曲平面塞进单位圆盘里：盘内的"直线"是与边界正交的圆弧， 等距变换恰好是一族 Möbius 变换 φ_a(z) = (z − a)/(1 − āz)。 拖动盘中的 a 点，{p,q} 镶嵌整体流变——双曲尺寸纹丝不动，欧氏形状天翻地覆。
镶嵌参数
{p,q} 条件(p−2)(q−2) ≤ 4：这不是双曲镶嵌（欧氏或球面），圆盘模型放不下它。
- 镶嵌边界（测地线弧）
- 拖动点 a（Blaschke 平移）
- 测地线演示弧
探针
双曲距离 d(0,z) = ln((1+|z|)/(1−|z|))：越靠边界越"远"， 欧氏上差 0.1，双曲上可能差好几倍。盘内所有胞腔双曲全等。
镶嵌账本
—面积由 Gauss–Bonnet 定死
正 p 边形每个内角 2π/q，双曲面积 = π(p − 2 − 2p/q)，与位置、形状无关。{7,3} 胞腔面积恰为 π/3——Klein 四次曲线的秘密。
为什么"直线"是圆弧
庞加莱圆盘保住角度（共形），但把长度拉伸：度量 ds = 2|dz|/(1 − |z|²)，边界处无穷大。 双曲"最短路径"在这个度量下恰好弯成与边界正交的圆弧—— 过两点且与单位圆正交的圆唯一确定，这就是本页的 geodesicCircle。
- 过圆心的"直线"退化为直径（欧氏直线）。
- 正交条件：圆心 c、半径 r 满足 |c|² = 1 + r²。
- Escher 1958 年《圆极限 III》画的就是 {7,3} 镶嵌——每条"鱼"双曲尺寸相同。
Möbius = 双曲等距群
把单位盘映到自身的全纯双射恰好是 e^{iθ}·(z − a)/(1 − āz)（|a|<1）。 它们是 Möbius 变换的一个子群——拖动 a 就是施加一次"双曲平移"：
- 双曲视角：镶嵌纹丝不动，只是坐标系滑到了 a。
- 欧氏视角：所有圆弧重新弯折，靠 a 一侧膨胀、对面挤扁。
- 边界不动点：单位圆整体映到自身，逐点却都在流动。
镶嵌生成用反射群 BFS：以每条边所在的正交圆做反演 z ↦ c + r²(z − c)/|z − c|²， 从中心胞腔逐层镜像，去重后封顶 300 片。