首页 / 工具 / 域着色

域着色

复变函数的值域是四维的，画不出来。域着色用颜色编码：色相 = 辐角 arg f，明度 = 模 |f| 的对数。于是整个复平面变成一张彩色地图——零点、极点、本性奇点一眼可辨。

f(z)

全域渲染

表达式（变量 z）

着色模式

显示等高线 / 相位线标注零点 / 极点

域着色

—

探针

z（悬停）—

f(z)—

|f(z)|—

arg f(z)—

色相绕一整圈（红→黄→绿→青→蓝→品红→红）= 辐角走过 2π。亮暗环每出现一次，|f| 就跨过一个 e 的整数次幂。

零点 / 极点

—

视口内零点—

视口内极点—

渲染耗时—

怎么读这张图

给每个点 z 算出 w=f(z)，再把 w 编码成颜色：

色相 = arg w。辐角 0 是红，逆时针转过色环。绕零点一圈，色相正好转一整圈。
明度 = log|w| 的分数部分。|w| 每乘 e，明暗走完一个周期，形成同心「等高环」。
零点 → 黑（|f|=0）；极点 → 白（|f|→∞）。它们周围色相都转满一圈。

预设看点

z²+1：两个零点在 ±i（黑点），周围色环各转两圈对应二次。
1/z：原点一个极点（白），整张图是反演的彩色漩涡。
(z−1)/(z+1)：Möbius——一个零点（z=1）、一个极点（z=−1），色相从零点转到极点。
e^{1/z}：本性奇点，原点附近颜色无限嘈杂（Picard）。
sin z：实轴上周期零点，虚方向指数放大成明暗条带。
tan z：sin/cos，零点与极点交替排成实轴上的栅栏。
log z：无穷多值——色相沿原点螺旋无限绕圈。

为什么色环一定转满

在零/极点周围绕一小圈，f 的辐角变化恰是 2π×阶数——这正是辐角原理的几何呈现，与围道积分页的卷绕数是同一件事。