复变函数绘图

这里画的是什么

复变函数 f(z) 把复平面上的每一点都搬到另一个位置。 这个工具让你先选定一条“原像”（单位圆、线段或网格），再看它经过 f 之后被弯成什么形状。

1. 单位圆。z = re^{iθ}，θ 从 0 到 2π，看 f 把圆拧成什么闭合曲线。
2. 线段。看 f 在一条直线段上的实部/模剖面，把二维问题压成一维曲线。
3. 网格。同时看正交网格的像，验证“解析函数保角”。

预设里藏着什么

• z²：单位圆 → 绕两倍的闭合曲线；幅角翻倍，模平方。
• 1/z：单位圆 → 单位圆，但方向反转；反演把圆内圆外互换。
• e^z：线段 → 指数增长/螺旋；单位圆 → 不闭合的圆弧。
• sin z：实轴线段 → 正弦波，复平面 → 双曲/三角混合。
• z + 1/z：Joukowski 翼型变换，圆被拉成类似机翼的剖面。