分支行走
取一个函数值 f，牵着你沿左图的回路散步 —— 每走一步，只允许从当前值连续挪一小步（解析追踪）。 绕支点一整圈回到出发点时，√z 已变成 −√z： 你顺着黎曼面爬上了下一层。再走一圈才回原位。
函数与回路
√z回路 = 左图可拖的圆（拖圆心离开支点则一整圈辐角零净变，值安然回家）。 支点是圆心处那颗红点。
- 回路（拖圆心/半径点）
- 支点
- 游标（当前位置 z(t)）
- 全程轨道（当前圈数）
- 已走过的部分
- 起点值 f₀
值层账本
—- 已走圈数
- 0.00
- 辐角累加 Φ
- 0.000 rad
- 所在层
- 第 0 层
- 起点值 f₀
- —
- 当前值 f̃
- —
- 单值性比 f̃/f₀
- —
"第 k 层"按辐角区间约定：Φ ∈ [−π+2πk, π+2πk)。 √z 每两层重合一族值 —— 第 2 层起颜色会认出来。
单值性与解析延拓
√z 在 z=1 处明明等于 +1， 绕原点一圈回来怎么就成了 −1？ 因为"取平方根"从来不是一个函数，而是一族局部解： 每个邻域里各有一个解析的平方根，它们两两只差一个符号。
把所有"层"缝起来，得到的曲面就是黎曼面： √z 是两层纸，z1/3 是三层，log z 是无限层螺旋 —— 本页右图画的就是 你踩在哪一层上的俯视图。
怎么玩
- √z，走一圈。出发时 f₀=1（回路半径 1、起点 z=1），一圈后值变 −1，"层"跳到第 1 层。点再绕一圈：第二圈终点回到 +1，轨道闭合 —— 两层纸缝上了。
- z1/3。要三圈才闭合，每圈乘 e2πi/3（转 120°）。
- log z。每圈加 2πi，值一路向上爬，永远回不来 —— 无限层螺旋。
- zi = ei·log z。每圈乘 e−2π ≈ 1/535：值沿对数螺旋收缩。绕原点几圈，zi 的"多值"相差五百多倍。
- 把圆心拖离支点。回路不再包住 0，一整圈辐角净变为 0 —— 值回到原地。多值性只在"绕支点"时才发作。
和卷绕数页是一枚硬币的两面。
卷绕数页记的是"f(z) 的朝向绕原点转了几圈"（对给定的枝求值）； 本页记的是"函数值自己在几层纸上"（枝本身不固定，连续挪着走）。 前者绕一圈必得整数；后者绕一圈可能回不了家 —— 差的那个角度，就是单值性破缺。