卷绕数游乐场
一条闭合围道 Γ 套住函数 f(z)，它的像 f(Γ) 绕原点几圈？ 按下播放，让游标沿围道走一圈——右图里辐角逐帧累加，回到起点时恰好停在整数上。 那个整数就是围道内的零点数 − 极点数（辐角原理）。
函数 f(z)
变量 z围道 = 左图上可拖的多边形（单击空白插顶点、双击顶点删除）。 零点蓝、极点红，由数值扫描自动定位。
- 围道 Γ 与游标
- 极点（红，标阶数）
- 零点（蓝）
- 整条像曲线 f(Γ)
- 已走过的弧段
- 辐角射线（原点 → 游标）
辐角账本
—一圈走完，圈数会吸附到整数——那是数学保证的，不是动画效果。 围道扫过零点或极点的瞬间，整数跳变 ±（阶数）。
辐角原理在说什么
让 z 沿闭合围道 Γ 走一圈，看 f(z) 的值在 w 平面上画出什么。 只要 Γ 不穿过零点或极点，f(Γ) 必是一条绕原点的闭曲线 —— 绕的圈数（逆时针为正）就是卷绕数。
直觉：arg f(z) 是"函数值的朝向"。零点像漩涡中心 —— 绕它一圈，朝向多转一整圈（重数几就转几圈）；极点像反漩涡，每圈倒扣一次。
本页的圈数是逐帧累加相邻采样点的辐角差得到的，从不"预测"整数； N − P 则由另一条独立管线（网格扫描 + Newton 精修）数出来。 两者恒等 —— 这就是定理。
怎么玩
- z² − 1，围道套住 ±1。两个一阶零点 → 像曲线绕原点 2 圈。把围道缩小只套住一个，立刻变 1 圈。
- 1/z。原点是极点，绕它一圈记 −1。围道含原点时圈数是负数 —— 像曲线顺时针走。
- (z²+1)/(z−2)。±i 两个零点在围道外不算数，z=2 的极点 −1 —— 圈数 = 0 − 1。把围道拉大吞掉 ±i，跳到 +1。
- 8 字自交围道。两叶方向相反，零点落在哪叶就按哪叶的符号计数 —— 卷绕数天生会处理。
为什么圈数一定是整数？
闭曲线回到起点，朝向也必回到同一个方向（相差 2π 的整数倍）。 累加器每步只加"最近角差"（|Δ| < π），采样足够密就不会漏跳 —— 走完一圈，总和必是 2π 的整数倍。动画里数字"啪"地吸附成整数，就是这一刻。
和围道积分页的分工
围道积分页算的是 ∮f dz（留数定理）；本页算的是 ∮f′/f dz（辐角原理）。同一个围道，两种记账 —— 一个记"面积加权"，一个记"朝向圈数"。