茹科夫斯基翼型
1910 年，茹科夫斯基用一条复变换 ζ = z + b²/z 把圆的绕流变成翼型的升力——数学系学生的一行公式，造出了飞机机翼的雏形。 左图拖圆心（厚度/弧面），右图看翼型与流场实时重算。
- 构造圆（过临界点 b → 后缘尖）
- ±b：变换的临界点
- 来流方向 e^{−iα}
- 流线（双向积分）
- 表面吸力（Cp<0 越蓝）
- 前缘 / 后缘 / 驻点
风洞参数
—薄翼理论给 Cl ≈ 2π·sin αeff——本页的 Cl 由 Kutta 环量现算， 和理论值的偏差就是"弧面弯板效应"。
圆怎么变成机翼
变换 ζ = z + b²/z 在 |z| > b 上是一对一的： 无穷远还是无穷远（留数视角：它只有一个一次极点，留数 1），圆周边界上互为反演点的两处被"焊"在一起。
关键焊点在 z = b：J′(b) = 1 − b²/b² = 0——临界点。 若构造圆恰好经过 b，变换把 b 附近开角 π 的圆内楔形映成翼型后缘开角 2π 的尖角。 这就是茹科夫斯基的全部秘密：圆过临界点 ⟹ 翼有尖后缘。
绕圆流（圆定理 + 涡）搬过变换只需除以 J′(z)——共形映射保流线的本性。除零点恰在后缘，除得好不好，全看 Γ。
Kutta 条件：一次除法的物理
后缘 z=b 处 J′=0。若分子 dW/dζ̃(b) ≠ 0，速度 = 非零 ÷ 0 → ∞—— 物理上不成立。唯一的出路：选 Γ 使分子同点归零。解出来正是
解锁「Kutta 锁定」、把环量拧离这个值：驻点从后缘爬到上表面，流线要"绕过尖后缘"， 后缘速度飙升——现实中这会诱发涡shedding，直到把环量推回 Kutta 值。 每转过一圈涡，环量就近一点 ——环量是流场自己调出来的。
升力从哪来？
Kutta 环量让下表面流慢（压强大）、上表面流快（吸力）——上下压差积分就是升力。 拉普拉斯方程 + 一条复变换，1910 年的飞机就是这么设计出来的。
和共形映射页的分工
共形映射页看任意 f 怎么变形网格；本页是同一家族的具体应用——J 变换 + 圆定理复势，第一次把"复分析"和"升力"画上等号。