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Padé 逼近
泰勒多项式是只会加法的逼近者，撞上离原点最近的奇点就寸步难行。 Padé 把同样的前 m+n+1 项系数解成商 R=P/Q， 有理函数自己长出极点 —— 于是 1/(1+z) 的 [0/1] 一阶就恒等： |z|<1 的收敛墙没了。误差热图双视图，泰勒与 Padé 同屏对账。
逼近对象
—点样本换函数；[m/n] 阶滑杆配平 —— 系数吃进 m+n+1 项，泰勒同阶对照自动跟上。
误差热图
—
- 误差 < 10⁻⁶（冷蓝：贴住了）
- 误差 ≥ 1%（暖红：逼近塌方区）
- 金圈 = 泰勒收敛墙 · 橙叉 = R 的极点
逼近账本
—- 阶 [m/n]（吃进系数 m+n+1 项）
- —
- R(z) 的分子 P / 分母 Q 系数
- —
- Q 的根（= R 的极点，DK 求解）
- —
- 泰勒收敛墙半径
- —
- 墙外典型点误差（Padé vs 泰勒同阶）
- —
- 光标处双误差
- —
"墙外典型点"：每样本配一个墙外考点（如 1/(1+z) 的 z=2），当场比对两个逼近者的相对误差 —— 穿墙战报。
阶与图层
- 分子阶 m
- 3
- 分母阶 n
- 3
"Pade→泰勒"切换热图通道：看同一误差场里，冷蓝区如何从 |z|<1 的孤岛蔓延成穿墙大陆。
怎么"解"出一个逼近
要求 f·Q − P = O(z^{m+n+1})。比较 z^{m+1}…z^{m+n} 的系数， 得 n×n 的 Hankel 线性系统（矩阵元素全是泰勒系数）解出 Q；再回代低阶系数即得 P。 所以 Padé 不额外要任何信息 —— 它只是把同一批泰勒系数"重新装裱"成商。
穿墙
Q 的根自动站到 f 的奇点上：1/(1+z) 的 [0/1] 解出 q₁=1，R 与 f 恒等 —— 墙被拆了
退化
Hankel 奇异时 [m/n] 不存在（1/(1+z) 的 [2/2]）—— 不是 bug：低阶已精确，高阶信息全是冗余
整函数也要商
eᶻ 无奇点，但左半平面八阶泰勒差 200+；对角 [7/7] 把误差砸到 7.5×10⁻⁶ —— 多项式不会"指数衰减"，商可以
怎么玩
- 开局看"1/(1+z) 一阶穿墙"。[0/1]：热图整张冷蓝 —— 有理式与真函数恒等；切"泰勒"通道，金圈外立刻烧红。墙就是墙。
- 把 n 加到 2 试 [0/2]。账本里 Q 变 1+z²？不 —— 样本没变，[2/2] 直接报"退化"：Hankel 奇异，一阶已封神。
- 换 eᶻ，拉 [7/7]。整函数的"墙"在 ∞：看左半平面泰勒残火的红如何被对角 Padé 一寸寸扑灭。
- 1/(1+z²) 看极点显形。橙叉精确落在 ±i —— Padé 的 Q 就是奇点探测器，比 Rouché 数根更直接。
- ln(1+z) 看割线代偿。支点没有对应的 Q 根，但假极点串成"栅栏"沿负实轴排开，误差衰减仍完胜同阶泰勒。
跟"级数"和"延拓"页什么关系？
series 页展示泰勒如何被收敛半径圈死；continue 页用解析延拓绕过去； Padé 是第三条路：原地换形态，让同一个幂级数自己长出穿墙的商。 三页连读，正好是"奇点"问题的三种答案。