Blaschke 万花筒
在单位圆盘里钉几枚零点半，就钉出了一个把盘映到盘的解析函数 B(z) = ∏ (z−aₖ)/(1−āₖz)。 每个因子都是一次"双曲平移"，边界却永远被钉在单位圆上 —— 拖一动零点， 盘里的预像圈圈就自相似重组：n 枚钉，盘就是 n 页覆叠的万花筒。
零点组
—画布上点击加一枚零点（≤12），双击零点拔掉它；拖动任意零点看预像圈重组。
- 零点半（可拖 / 双击拔除）
- |B|=r 预像环（金线）
- 边界 |B|≡1：颜色在圆环上跑满一圈
覆叠账本
—- 零点数 n（= 覆叠页数）
- —
- |B(0)| 闭式 ∏|aₖ| 对账
- —
- 环半径 r 上的原像数
- —
- 边界卷绕 deg B|∂
- —
- 旋转对称阶
- —
- 光标处 B(z)
- —
"闭式对账"= |B(0)| 逐像素求值与 ∏|aₖ|（每因子在 0 处贡献 |−aₖ|/1）当场比对 —— 万花筒再花，账是分毫不差的。
取景
- 预像环半径 r
- 0.55
金环开关关掉后只剩纯域着色 —— 色相在零点处"漩涡收心"，边界上"整圈跑满"。
为什么边界钉在边界上
单因子 bₐ(z) = (z−a)/(1−āz)（|a|<1）在 |z|=1 处满足 1−āz = −ā(z−1/ā̅) 而 1/ā̅ 恰是 a 关于单位圆的反演点 —— 分子分母是"反演共轭"的一对，模长恒等 ⇒ |bₐ| ≡ 1。 乘积继承这一点：整个单位圆被映到单位圆，卷绕数恰为 n。
把 aₖ 拖到贴着边界（|a|→1），零点把越来越多的"页"挤到那一小块 —— 这就是内函数（inner function）的微观形态：边界测度为零的集合上藏着全部的奇异性。
怎么玩
- 先拖"三重风车"的任意一枚钉。三枚零点里的任何一枚离开对称位，金环立刻从"光圈叶片"散架成不规则三瓣 —— 对称性是钉出来的。
- 把一枚钉拖向边界。域着色里贴着边界出现一小块"色涡"：零点越贴边，被挤到边界的覆叠页越多（|B(0)| 账本同步缩小）。
- 调环半径 r。r→0 数原像：金环碎成 n 个圈、各圈住一枚零点；r→1 各圈融合成绕心大环 —— 中间必有"拓扑相变"的临界 r。
- 点画布空白处加钉到 12 枚，再逐个双击拔除 —— 看预像族如何按单值化群置换重组（绕 w 一圈，n 枝交换一个置换）。
- 切"六环花窗"。6 重对称全开：金环呈六出花窗；这时关掉网格，只剩色相与金线，最适合当壁纸。
- 键盘。A = 加钉（盘心）· D = 拔除最后一点 · 空格 = 金环巡游（r 往返扫）/停。
这跟"域着色"页有什么不同？
domaincolor 页看的是给定函数的场；这里场由你的钉现场生成， 而且 Blaschke 乘积是复分析里少见的"玩具即工具"：内函数分解（Beurling）、 不变子空间、插值定理（Carleson）都从这一族乘积长出。 你拖的每一步都在做无穷维理论的有限维演示。