布朗测
概率论给复分析递来的一面镜子：盘内调和函数 u(z) 恰是 布朗粒子从 z 出发、撞出单位圆时落在边界数据 φ 上的期望 u(z) = E_z[φ(B_τ)]。而出盘落点的分布密度，正是泊松核 P_z(e^{it}) = (1−|z|²)/|e^{it}−z|² —— 同一个积分核， 一半是分析、一半是概率。拖动探针、按下"跑蒙特卡洛"，两条路线当场对账。
边界数据 φ
—圆盘内金钉 = 探针起点 z（可拖，锁在盘内）；外圈彩条 = 边界 φ 的取值，橙柱 = 出口角直方图，青线 = 泊松核 P_z。
- 金钉 = 探针起点 z（拖动，锁盘内 r<0.97）
- 橙柱 = 出口角直方图（蒙特卡洛实测）
- 青线 = 泊松核 P_z(θ)（理论密度 ×2π）
对账台
—- u(z) 解析（泊松积分）
- —
- u(z) 蒙特卡洛（N 条游走）
- —
- 误差 ｜ 理论尺度 1/√N
- —
- 出口直方图 vs 泊松核（L1）
- —
- 均值性质 u(0) vs 边界均值
- —
z=0 时泊松核退化为常数 1 —— u(0) 就是边界 φ 的圆周平均，蒙特卡洛则数"落进高弧段的游走比例"。
图层
关掉热图只看轨迹：几十条乱走的路，出口统计却精确服从光滑的泊松核 —— 混乱里长出解析。
两次撞线，一个答案
把一枚粒子从盘内 z 放手做平面布朗运动，它几乎必然在有限时间 τ 撞上单位圆周并停下。落点在弧段 [t, t+dt] 的概率密度 恰是泊松核 P_z(e^{it}) dt/2π —— 于是 E_z[φ(B_τ)] = (1/2π)∫φ(e^{it})P_z(e^{it})dt 就是 Dirichlet 问题的解 u(z)。分析侧的积分公式与概率侧的期望 是同一个数，本页把两边都算出来摆在一起。
怎么玩
- 把探针拖到圆心。泊松核变成平的（青线拉成常高），出口均匀 —— u(0) = 边界均值，均值性质肉眼可见。
- 拖近边界。青线在探针正对方向尖峰化：粒子多半就近撞出，u(z) 被"头顶那一段"边界值统治。
- 换"三角波"案卷再跑。边界有折角、内部却丝滑 —— 泊松核是天然的低通滤波器，高频在盘内指数衰减。
- 连点两次"跑蒙特卡洛"。N=100 的散落点 vs N=4000 的贴合柱 —— 1/√N 收敛不用背，看两次就有体感。
- 关热图开轨迹。每条橙色折线都是一枚粒子的死亡之旅；它们的终点分布，就是那条青色泊松核。
为什么共形映射在这里"免费"？
布朗运动在共形映射下只改变走时、不改变路径像 —— 所以 u∘φ 仍是调和函数。 这正是"调和性随共形映射走"的概率证明：本页任何盘→盘的映射自动继承， 也是双曲盘里布朗步长成双曲测地线的根由。