复连分数
f = 1/(b + 1/(b + 1/(b + …)))：一个复数参数 b， 一条无穷嵌套的分式。拖 b 点半，全站现场逐点迭代出收敛盆地的热力图 —— 再叠上 Wall 抛物线定理的担保区：盆总比抛物线大（b=−1 就是叛徒）， 而虚轴禁区里渐近分式干脆转圈不落地。b=1 时它生出黄金比。
案卷（b 的取法）
—画布上拖动 b 点半；热图是 300 层逐点迭代的实测收敛性（冷=收敛盆，暖=发散/慢）。
- 收敛盆（迭代落位，冷蓝）
- 发散/旋转（暖色）
- Wall 抛物线 |b−1| = Re b（定理担保区边界）
分式账本
—- 参数 b（拖动橙点）
- —
- f = 1/(b+1/(b+…)) 的 6 层渐近分式
- —
- 收敛判读（300 层实测）
- —
- Wall 抛物线盖章？
- —
- 不动点闭式 f* = 2/(b+√(b²+4))
- —
- 光标处 b 的收敛性
- —
抛物线盖章=定理担保收敛；盖章否 ≠ 发散（b=−1 反例）。账本里两者分列，对账即见定理的边界。
图层
"轨道"= 前 40 层渐近分式 fₙ 画成一小串渐隐点：收敛=蜗牛落位；旋转=在圆上跳环舞。
一条 Möbius 轨道
令 g(t) = b + 1/t —— 它是 Möbius 变换。第 n 个渐近分式满足 fₙ = 1/gⁿ⁻¹(b)：无穷连分数 = 一条 Möbius 轨道的极限。 g 的不动点 t² = bt + 1 两根乘积为 −1， 除非都在单位圆上，恰有一个 |t|>1 充当吸引子 —— 这就是恒等分数收敛域的全部秘密。
怎么玩
- 从"b = 1（黄金比）"开案。轨道点 6 层内缩进一点；账本里 f≈0.618 = 1/φ —— 连分数与 φ 的出生证明。
- 拖 b 沿实轴左行到 −1。金线内→外，热图却始终冷：抛物线盖章"否"、实测仍"收敛" —— 对账页上最直接的一课。
- 把 b 拖到虚轴 0.8i。轨道点在圆上跳环舞永不落位 —— 恒等分数的发散透镜；沿虚轴上下挪，|y|>2 后裂缝愈合。
- 沿抛物线边缘巡游。顶点 1/2 附近收敛最慢（吸引子被挤到单位圆上）—— 热图在定理边界处最"灰"。
- 关掉热图只剩轨道。看 Möbius 轨道的几何：收敛=螺旋落位，旋转=正多边形的鬼影。
跟"级数"页差在哪？
级数页的收敛对象是加法无穷和；这里是倒数与加法交替的嵌套结构 —— 收敛机制完全不同（Möbius 不动点 vs 部分和）。连分数还是"最无理"的数论乐器： 黄金比是收敛最慢的实连分数，本页的抛物线边缘正是它的复平面投影。