解析延拓沙盒
从一个局部函数值出发，沿你画的任意围道做解析延拓： 引擎不查表、不换分支，只把函数元素沿路径小步搬运。 跨割线时"主值"会跳，延拓却头也不回地继续走 —— 终点值告诉你： 你踩在了黎曼面的哪一层。
函数
√z绕原点一圈：w 变号——你走到了第二叶。
- 围道（拖顶点）
- 支点
- 游标（当前位置 z(t)）
- 主值 f(z)（跨割线会跳）
- 延拓轨道 f̃（永不跳）
- 起点值 f₀
延拓账本
—- 围道绕支点
- 0.00 圈
- 起点值 f₀
- —
- 终点值 f̃
- —
- 单值性比 f̃/f₀
- —
- 主值贴合段
- —
- 搬运步数
- —
"主值贴合段" = 延拓轨道与主值分支还重合的前缀 —— 跨过一次割线它就停止增长： 此后延拓与查表（主值）从此是两条路。
延拓怎么算
解析函数由它的 germ（局部展开）唯一决定。本页引擎从起点主值 w₀ = f(z₀) 出发，沿加密折线把 germ 一小步一小步往前搬 —— 每一步用这些代数函数共同的微分方程（如 y²=z ⇒ y′=1/(2y)） 做复步长 RK4，步长压到 0.012 世界单位以内，全局误差 10−9 量级。
与分支行走的区别：那页走的是标准圆、用连续辐角的 闭式；这页是真延拓 —— 围道随便画（打结、绕双支点、叶上叠叶的 log(1+√z) 也行），引擎全程只靠局部微分方程搬运，和教科书的定义等价。
怎么玩
- 把围道扭成 8 字。只要不擦过红支点，回到起点时值必定是 f₀ —— 单值性定理的实拍。
- √(z²−1) 绕双支点。默认大圆同时圈住 ±1 两个支点：绕一圈值不变号！只圈一个（把围道缩小挪过去）才换叶。
- log(1+√z)：叶上叠叶。一圈里先换 √ 的叶、再踩进 log 的割线 —— 账本的虚部台阶一次都没含糊。
- ＋再走一圈。√z 型两圈回原叶，∛z 要三圈；log 型每圈 +2πi，看 f̃ 在 w 平面爬螺旋楼梯。
- 擦过支点。把顶点拖到红点上：RK4 步长失控，引擎会报"延拓中途发散"——支点本来就去不得。
为什么不用"泰勒重展开"硬扛？
纯 Taylor 链（把展开中心逐步平移）数学上没错，但浮点噪声会沿累积位移按 (路径长/收敛半径)阶数 指数放大 —— 双精度下五十步就炸。 代数方程 + RK4 是同一件事的稳健实现：误差只随步数线性走。 本页的 Taylor 机构仍在幕后：那圈"函数元素圆盘"就是它的展示。