Γ 工坊
Γ(z) = ∫₀∞ tz−1 e−t dt —— 阶乘的解析延拓。 它在 0, −1, −2, … 埋一排单极点，其余全平面光滑无零点；倒数 1/Γ(z) 则是整函数——一排零点钉在负整数上。 拖探针验证三大恒等式：反射 Γ(z)Γ(1−z) = π/sin πz、 倍元、虚轴模闭式 |Γ(1+it)|² = πt/sinh πt，再看 Stirling 级数的最优截断。
经典点
—画布上拖橙色探针 z，账本实时对账恒等式；「倒数」开关切 Γ ↔ 1/Γ 两张面孔。
- 色相 = arg f(z)；明暗带 = |f| 的对数等高
- 白热 = 极点（Γ）／黑点 = 零点（1/Γ），位置都在 0,−1,−2,…
- 橙钉 = 探针 z（恒等式在此对账）
恒等式账本
—- 探针 z 与 Γ(z)
- —
- 反射：Γ(z)·Γ(1−z) vs π/sin πz
- —
- 倍元：Γ(z)·Γ(z+½) vs 21−2z√π·Γ(2z)
- —
- 虚轴闭式（沿 Re z=1 取 t=Im z）
- —
- 递推 Γ(z+1)=z·Γ(z)（回拉校验）
- —
误差列都是 同一支 Lanczos 内核的两条路径对撞 —— 恒等式崩了说明延拓走岔了枝。
Stirling 最优截断
—渐近级数不是收敛级数：项数先减误差、过谷底后发散。谷底 = 最优截断；z 离原点越远谷底越深。
图层
「等高环」关掉后只留纯相色轮；「标」在负整数位钉环扣，配合热图的白热/纯黑互证。
从阶乘到亚纯函数
Γ(n+1)=n! 只说了一半。积分定义在 Re z>0 收敛，靠递推 Γ(z+1)=z·Γ(z) 向左逐条带延拓，撞上 z=0 时除以零—— 于是 0, −1, −2, … 长出一排单极点，留数 (−1)ⁿ/n!。 本页内核 Lanczos 直算 Re z≥½，其余走反射公式 Γ(z)Γ(1−z)=π/sin πz，账本拿两条独立路径互验。
怎么玩
- 拖探针过负实轴。Γ 模式在 −1, −2… 看到白热爆点；切「倒数」，同一批位置变纯黑——零极互换一眼看穿。
- 盯反射账本。探针随便放，Γ(z)·Γ(1−z) 与 π/sinπz 的误差恒在 1e-12 量级——两路代码互为证人。
- 沿 Re z=1 竖线拖。虚轴闭式行激活：|Γ(1+it)| 撞 √(πt/sinh πt)，t 越大衰减越凶（指数下坠）。
- 看 U 形谷底。把探针拖远（如 6+4i），Stirling 曲线的谷底下沉且右移——远离原点渐近级数越来越灵。
- 数极点。缩放到 Re z≈−10，极点列还在、 residue 递减——延拓没有尽头。
和 Zeta 页什么关系？
反射公式 ζ(s)=2ˢπs−1sin(πs/2)Γ(1−s)ζ(1−s) 里 Γ 管对称、sin 管平凡零点——Zeta 页的「为什么」，一半答案在你手心的这个 Γ 里。 课件「伽马反射」一课有逐步推导。