极限集
取单位圆盘的两枚双曲自同构 A（沿实轴平移 L）与 B = R A R⁻¹（转 90°），连同它们的逆共四枚生成一个 Schottky 群。从圆心随机复合这些变换，轨道在边界聚成 fractal 的 极限集 Λ —— 拨间隙 L：它从糊满圆周一路瘦成稀疏的 Cantor 尘。 等距圆彼此分离，恰是"经典 Schottky"的判据。
间隙谱系（L）
—点云 = 随机迭代吸引子（每点是一条群字对应的边界聚点）；拖动 L 滑杆看空隙开合。
- 橙点 = 极限集 Λ（群轨道边界聚点）
- 青圆 = 四生成元等距圆（分离 ⟺ 经典 Schottky）
- 金点 = 吸引/排斥不动点（双曲元素）
分形账本
—- 间隙 L / 等距圆半径 1/sinh(L/2)
- —
- 相邻等距圆（圆心距 vs 2r）
- —
- 最大圆周空隙（rad）
- —
- box-count 维（角网格，<1 即不连通）
- —
- 点云规模 / 贴边比例
- —
L 小到等距圆相碰 → 群退化，Λ 增厚几乎填满圆周；L 大 → 四圆互斥、Λ 成不连通 Cantor 集、维数下滑。
图层与随机种子
点云用固定种子的 mulberry32 生成 —— 换种子得到同一极限集的又一次独立抽样，形状稳、细节抖。
群在边界的影子
圆盘自同构群 PSL(2,ℝ) 作用在闭盘上，把开盘映到自身、把边界圆周映到自身。 一个由双曲元素生成的自由群 G 的极限集 Λ ⊂ ∂D，就是任一初始点轨道 {g(z₀)} 在边界的聚点集 —— 与 z₀ 无关、G-不变、 通常是分形。本页的 G 由 A: z↦(αz+β)/(β̄z+ᾱ)（α=cosh L/2, β=sinh L/2） 与转 90° 的共轭 B 生成，用随机迭代（每步等概率挑 A/B/A⁻¹/B⁻¹） 逼近 Λ。
怎么玩
- L 拉到最小 0.7。点云几乎糊满整个圆周、最大空隙趋 0 —— 群退化，Λ 失去 Cantor 结构。
- 缓推 L 滑杆。盯着最大空隙从 0 一路涨到 >1 弧；账本里 box-dim 同步下滑 —— 这是"增厚↔变瘦"的连续形变。
- 开"经典 Cantor"预设（L=1.9）。四枚青色的等距圆两两分离，边界留出干净的弧空隙；这是 Schottky 群的教科书写照。
- 关掉点云只看等距圆。理解判据：圆心距 > 2r ⟺ 互斥 ⟺ 自由积结构稳定。
- 连点"换种子"。同一 Λ 的多次独立蒙特卡洛：整体形状（哪些弧空着）稳定，具体落点抖动 —— 极限集是吸引子。
和 Newton / Mandelbrot 分形的区别？
Newton、Mandelbrot 的分形来自迭代一个固定映射的收敛/发散； 极限集来自一群映射（群作用）轨道的聚点 —— 分形性藏在"词的树状组合"里。 本页用随机乘积（RIFS）把这条抽象定义变成看得见的点集：这正是 Julia 集"群版"的近亲。