留数定理
围道 Γ 套住几个极点，∮ f dz 就等于它们的 卷绕数加权留数之和乘 2πi。左图拖围道、按下播放， 右图把积分 A(t) = ∫ f dz 逐帧累积出一条轨迹； 同时每个极点的贡献 2πi·n·Res 作为向量从原点首尾相加。 走完一圈，轨迹终点与向量链末端恰好重合 —— 这就是定理。
函数 f(z)
变量 z围道 = 左图上可拖的多边形（单击边插顶点、双击顶点删除）。 极点红、零点蓝，由数值扫描自动定位；留数用小圆积分现算。
- 围道 Γ 与游标
- 极点（标 n 与 Res）
- 零点（不进账本）
- 累积积分 A(t) = ∫f dz
- 向量链 Σ 2πi·n·Res（首尾相加）
- 两线终点（应重合）
积分账本
—轨迹是 Simpson 数值积分逐帧累出来的，向量链是小圆积分 + 卷绕数另一条管线算出来的 —— 它们素不相识，终点却总在一起。围道扫过极点的瞬间，账本添一行，跳变恰好 2πi·n·Res。
留数定理在说什么
解析函数沿闭围道的积分，只由围道"看见"的极点决定 —— 每个极点贡献 2πi·n(Γ,p)·Res(f,p)，其中 n(Γ,p) 是围道绕该极点的圈数（卷绕数页的主角）， Res 是 Laurent 展开的 a₋₁ 系数。
本页的账本是几何的：每个极点一条向量 2πi·n·Res，从原点出发首尾相加；积分轨迹 A(t) 沿围道逐帧累积。向量链的末端是定理"说"的值，轨迹的终点是积分"算"的值 —— 两者重合，定理成立。
注意零点不进账本：解析点没有留数。极点也未必有分量 —— 1/z² 的 Res = 0，绕它一圈积分照样是零。
怎么玩
- cot z，12 边形。原点一阶极点 Res=1，围道含它 → 轨迹终点 2πi ≈ 6.28i，向量链只有一条。
- 1/z²。有二阶极点，但 Laurent 里没有 1/z 项 → Res=0，向量链是空谈，∮=0。有极点 ≠ 有积分。
- 1/(z²+1) + 8 字围道。±i 各进一叶，圈数 +1 与 −1 —— 带符号加权后 Σ = −i，∮ = 2π 是个实数。卷绕数天生会处理自交。
- e^(1/z)。本性奇点：扫描找不到它的"极点"，账本对不上 —— 定理没错，是我们的奇点探测器到极限了。
为什么两条线必然汇合？
轨迹 A(t) 是对被积函数 f(z(t))·z′(t) 的纯数值累加， 它不知道任何极点在哪。向量链则先把极点逐个定位、用绕每点的小圆单独积分出 Res、 再乘上各点的卷绕数。两条管线共享的只有"围道形状"这一个输入 —— 它们汇合，是留数定理被实验验证了。
和围道积分、卷绕数页的分工
围道积分页盯着单个数字 ∮f dz 吞极点时的跳变；卷绕数页数 f(Γ) 绕原点几圈；本页把留数定理摊开成一张完整的账：逐点贡献、加权、求和、与积分轨迹对账 —— 复分析三件套的收官。