Rouché 定理
主函数 f(z) 沿围道走出一圈像曲线；扰动 g(z) 给每个像点套上一根长度 |g| 的毛刺。只要毛刺够不着原点， f 与 f+g 在围道里的零点就一样多。
主函数 f(z)
变量 z扰动 g(z)
变量 z- 围道 Γ 与游标
- f 的零点（蓝，标序号）
- f+g 的零点（琥珀）
- 主曲线 f(Γ)
- 毛刺：从 f 沿 ±f 方向长 |g|
- 影子曲线 (f+g)(Γ) 始终困在管内
零点账本
—毛刺碰不到原点 ⇔ 围道上处处 |g| < |f| ⇔ 影子曲线 (f+g)(Γ) 无法逃出管子、也就无法挣脱绕圈数 —— 两个 N 必然相等。 把 g 的系数 slider 拉大，看它破防的瞬间与零点跳变。
Rouché 定理在说什么
围道 Γ 上处处 |g| < |f|， 则 f 与 f+g 在 Γ 内零点一样多（按重数）。
直觉：管子的每个横截面是从 f 沿 ±f 方向（即"远离/冲向原点"方向）伸 |g| 长的毛刺。f+g 的值离 f 不超过 |g|，且横向偏移被辐角原理锁进同一叶 —— 影子永远逃不出管壁，也就永远数不出多余的零点。
本页两条独立管线对账：零点由网格扫描 + Newton 精修数出来；绕圈数由像曲线辐角累加出来。 毛刺碰原点的瞬间（|g|=|f| 破防），管壁塌陷，N(f+g) 立刻跳变 —— 条件一旦不成立，结论真的会失效。
怎么玩
- 默认 f=z⁴−3z+1, g=0.4z³。单位圆围道里两者都恰好 1 个零点 —— 安全余量 0.6，毛刺碰不到原点。
- 代数基本定理一屏证完。预设「ABT」：f=z⁵ 在圆心有五重零点；g=3+0.1z 再横，围道 |z|=1.6 上 |g|≤3.16 ≪ |f|=10.5 —— f+g 也恰好 5 个零点，且被管子锁在同一圈里。
- 拉扰动 slider 看破防。预设「eᶻ+0.1z」：f=exp(z) 无零点（管中影也 0 个）；slider 拉到 2，毛刺碰原点，零点凭空多出一个 —— 前提一破，结论真的失效。
- 换围道形状。把围道缩到只含部分零点，或拖成 8 字让绕圈数带符号 —— 管子账本照样吻合。
毛刺为什么沿 ±f 方向画？
最危险的方向是冲向原点的方向：只要沿 −f 方向的毛刺都碰不到 0， 任何方向的扰动 g（|g| 不超过毛刺长）都碰不到。一根毛刺管住整个圆盘 —— 这就是"逐点 |g|<|f|"的几何真身。
和卷绕数页的分工
卷绕数页问"像曲线绕了几圈"；本页把圈数当守恒量用 —— 扰动改不了圈数，所以也改不了零点个数。是同一台辐角引擎的两种活法。