SC 成型
f'(z) = ∏ (1 − z/xₖ)^{αₖ−1} —— Schwarz–Christoffel 公式把 单位圆盘捏成任意多边形。边界上的 预像点 xₖ 各管一个角：内角 αₖπ 在 映射处把圆周"折"出棱角。拖 xₖ 沿单位圆走 —— 目标多边形实时变形； 四个 α=1/2（全直角）配不等分的预像，只能长出矩形： 形状的自由度（模）藏在预像的位置里。
案卷（预像 × 内角）
—画布上拖动边界上的预像点（橙钉，锁定单位圆）；金框是 f 的像多边形。账本实测每个顶点角。
- |f'| 热图（暖=放大、冷=压扁；顶点处爆/灭）
- 金多边形 = 盘的像；金色扇线 = 极坐标网格的像
- 橙钉 = 预像 xₖ（沿单位圆拖）
成型账本
—- 预像个数 n / Σβ（闭合判据 =−2）
- —
- 像多边形边长（逐边）
- —
- 实测内角（应 = αₖπ）
- —
- Beta 闭式对账（正多边形顶点模）
- —
- 光标处 z 的放大率 |f'|
- —
Σα 必须 = n−2 边界才闭合 —— 账本第 1 行实时校验你（和引擎）的算术。
图层
网格像：盘里的同心圆 + 半径扇线，被 f 映成"贴着多边形边"的正交曲线网 —— 共形 = 直角不弯。
将圆盘捏成多边形
SC 积分 f(z) = ∫₀ᶻ ∏ (1 − ζ/xₖ)^{βₖ} dζ（βₖ=αₖ−1，Σβ=−2） 的导数在预像 xₖ 处像 (1−t)^{βₖ} 那样爆发或熄灭： 沿单位圆走过 xₖ 时 arg f' 恰跳 (αₖ−1)π， 于是像曲线在对应点折出 αₖπ 的内角。顶点模有 Beta 闭式 —— 正 n 边形中心到顶点 = (1/n)·B(1/n, 1−2/n)（正方形 1.3110…）， 本页账本拿数值积分对这笔账。
怎么玩
- 开"正方形"案。四钉等分圆周四象限；拖走一枚钉 —— 立刻"塌"成一般四边形，内角账本同步跳。
- 开"矩形"案再等分回去。四钉等分 ⇒ 正方形：直角不变，比例随预像角距连续变 —— 这就是矩形的模（1 个复参数、实 1 维）。
- 盯热图的烫点。每个凸角预像是个奇点：|f'| 无界。把网格像开关拉开，看正交网在角上如何"收拢"。
- 270° 凹角案。热图变冷点、网格像展开 —— 放大率熄灭 = 局部压扁。账本内角读 270°。
- 对 Beta 账。正多边形案卷里"闭式对账"行：数值积分 vs Γ/Beta 公式，误差 ~1e-6。
与"共形映射"页的关系？
共形映射页看的是初等公式的映射（z²、exp、Möbius…）；SC 是逆向工程 —— 先点菜（多边形），公式替你生成映射。工程里它给流体绕翼型、静电棱角场提供解析底座； 数学上是 Riemann 映射定理的显式化。