黎曼曲面浏览器
√z 绕原点一圈"变成相反数"，log z 每圈多背一个 2πi—— 黎曼的解法：把这些互相纠缠的分支铺成一张多层曲面，函数在曲面上就单值了。 左图 3D 拖转叶片；拖 θ 滑块，看巡叶点如何在值平面里连续走完所有分支。
- Re w > 0（暖）· Re w < 0（冷）
- 巡叶探针：当前 (r, θ) 的曲面上的点
- 拖拽旋转 · 滚轮缩放
- w(θ) 完整轨迹（θ 不取模）
- 当前 θ 处的 w
- 浅色刻度 = 每圈 (θ≡2πk) 的落点
函数与巡叶
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为什么函数需要一张"多层世界"
√z 在 z=1 处有 ±1 两个值。想选一个分支连续地"走"： 从 1 出发沿单位圆绕原点一整圈回到 1——根号却变成了 −1。 绕第二圈才回来。函数没变，你回到的不是原来的那张纸。
黎曼的天才：与其在复平面上纠结"哪个分支"，不如把定义域换掉—— 造一张由多片叠成、在支点处首尾对接的新曲面。z 平面是投影，曲面才是真相： 在曲面上 √z 是单值的、处处光滑的函数。
读懂这张图
左图的螺旋坡道就是 log：每绕一圈高度 +2π，无穷叶叠成螺丝塔。 √z 则是两叶对接：θ 从 −π 到 π 是第一叶（Re√z≥0），越过 π 落进第二叶（值变号）， 走满 4π 才回到出发点的正上方。颜色编码另一半（Re w），所以"同一片叶"颜色渐变连续。
右图是值平面上的同一趟旅程：拖 θ 滑块，看 w 一笔连续画出—— 不跳变、不断裂，一圈圈转进新的分支。纠结全部来自「把 θ 藏进 [−π,π]」这一刀； 不藏，一切丝滑。
z^i：无穷叶的坍缩
虚指数最反直觉：|z^i| = e^{−θ}——每上叶一圈，值缩小 535 倍。 无穷多叶在 0 处无限拥挤：支点 0 是超越奇点，不是代数的那几种"几叶一团"。
和分支行走页的分工
分支行走 页在平面上看"一圈翻号"的记账过程；本页把那些页铺成一张站得进去的曲面——同一家族的 3D 终章。