℘ 观象台
Weierstrass 的 ℘ 是格的函数：给一个 τ，格 Λ={m+nτ} 定下一张壁纸， ℘ 把它无缝铺满复平面。拖动 τ（或用滑杆），盯着左边的域着色壁纸 随格呼吸形变——方格 τ=i 有 4 重对称（j=1728），六角 τ=ρ 有 6 重对称（j=0）。 右边是 j(τ) 的模地板：你正踩在哪张壁纸上，一图看尽。
格 τ
τ = 0 + 1.00i经典格：方格（j=1728）、六角（j=0）、长方形（τ=2i，j=287496）。
- 格点 Λ（℘ 的二阶极点）
- 半周期点 ½、τ/2、(1+τ)/2（℘′=0）
- 基本平行四边形（一格的边界）
- SL₂Z 基本域 |Re τ|≤½、|τ|≥1
- j 轨道：i→1728、ρ→0（尖格=白）
- τ 把手（可拖，越界进禁区）
格账本
—- 不变量 g₂ / g₃
- —
- Δ = g₂³−27g₃²
- —
- j = 1728·g₂³/Δ
- —
- 半周期值 e₁ / e₂ / e₃
- —
- ODE 残差 ℘′²−(4℘³−g₂℘−g₃)
- —
- ℘(悬停点)
- —
"ODE 残差"= 账本数字与引擎的双向验算：任取一点 z，把 ℘(z)、℘′(z) 代回微分方程 ℘′² = 4℘³ − g₂℘ − g₃，左减右的模 —— 应在 10−9 以下。数字对不上账，页面就不配叫观象台。
℘ 怎么算
定义里 ℘ 是对全格求和 ℘(z)=1/z²+Σ′[1/(z−λ)²−1/λ²]，逐格加收敛慢。 本页主管线走 θ₁ 比值（Whittaker-Watson 公式，周期约定 2ω₁=1）： 对 q=eπiτ 只有 |q|<e−0.3π≈0.39，级数几十项就收敛到双精度封顶。 ℘′ 同一次 θ₁ 求值里顺带给出（对数导数拼装）。
与域着色的关系：那页 dc-wp 预设也能画 ℘， 但只当表达式用；这页把格本身交给你 —— 换 τ 等于换一整个复分析世界。
怎么玩
- 拖 τ 把手绕一圈。左边的壁纸被剪切、拉长、旋转，但永远无缝 —— 双周期性肉眼实拍。
- 找 4 重对称。把 τ 拖回 i：格点变成方格阵，℘ 壁纸出现 90° 旋转对称 —— j 读数 1728。
- 找 6 重对称。拖到 ρ=(1+i√3)/2：六角格，壁纸 60° 自转不变 —— j=0，g₂=0。
- ▶ 让格呼吸。τ 绕 ρ 画小圆，账本里 e₁e₂e₃ 三个根像转圈一样轮着走，一圈后各归其位。
- 拖进禁区。Im τ<0.3 时 nome 太接近 1，级数失效 —— 把手被边界拦住，页脚警告条会说话。
- 看模地板。右边近黑处 j≈0（六角类），纯白处 Δ→0（格退化），中部亮带 |j|=1 —— 你拖的每一点都在这张地图上。
为什么 τ 平面上到处是同一张地图？
τ 和它的 SL₂Z 像（如 τ+1、−1/τ）给出同一个格（基变换而已）， 所以 j 取值完全相同 —— 模地板因此关于竖线 Re τ=±½ 镜像、关于单位圆反演对称。 基本域虚线圈出的那一片，就是"互不相同的格"的名册。